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In memoriam: Maryam Mirzakhani (1977-2017)

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Fecha de Publicación
2017/07/15
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Hoy, 15 de julio de 2017, ha muerto a la edad de 40 a√Īos Maryam Mirzakhani, matem√°tica iran√≠ ganadora de la Medalla Fields en 2014, el premio m√°s importante otorgado en la disciplina. Pionera en much√≠simos sentidos, fue la primera mujer en obtener dicho galard√≥n (que se entrega desde 1936) y adem√°s la primera iran√≠. Sus investigaciones se centraban en la teor√≠a de las superficies de Riemann y tienen profundas consecuencias en diversas √°reas de las matem√°ticas, como los sistemas din√°micos, la geometr√≠a en todos sus sentidos y el an√°lisis complejo. En Etilmercurio hemos decidido recordarla dando una breve revisi√≥n a su historia y a su trabajo.

Su vida

Mirzakhani naci√≥ en Teher√°n en 1977. Durante toda su juventud vivi√≥ bajo el inestable clima de la guerra entre Ir√°n e Irak, pero a pesar de ello, pudo desarrollar sus estudios y ambiciones intelectuales gracias al apoyo de su familia. Su mayor inter√©s durante su infancia, era la lectura y escritura, y no pens√≥ en dedicarse seriamente a las matem√°ticas hasta el √ļltimo a√Īo de su ense√Īanza media.
Durante su estad√≠a en el colegio, conoci√≥ a m√ļltiples personas que moldearon su inter√©s por las matem√°ticas, entre los que destaca a su amiga Roya Beheshti, con la que iban a un mercado que quedaba cerca de su colegio, donde solo vend√≠an libros. No les era permitido hojear los libros, as√≠ que simplemente aprovechaban los precios baratos y compraban libros al azar para leerlos.
A pesar de su curiosidad, Mirzakhani no destac√≥ en matemaŐĀticas durante esos a√Īos de estudio y durante un par de ellos tuvo notas particularmente malas. Esto termin√≥ con la llegada de una nueva profesora, quien la motiv√≥ e interes√≥ en el estudio de matem√°ticas. Junto con su amiga Beheshti estudiaron para ser las seleccionadas de su colegio para participar en la IOI (International Olympiad in Informatics, Olimpiada Internacional de Inform√°tica), una competencia anual a nivel escolar sobre resoluci√≥n de problemas inform√°ticos.
Mirzakhani destaca a la directora de su colegio como una de las personas que m√°s apoy√≥ su dedicaci√≥n a las matem√°ticas durante esta √©poca. Ella era ¬ęuna persona de car√°cter fuerte que estaba dispuesta a hacer lo que fuera necesario para darnos las mismas oportunidades que las que tienen el colegio de ni√Īos¬Ľ; en un pa√≠s donde no hay colegios mixtos en los a√Īos superiores de escolaridad [3]. Gracias a ella, Mirzakhani y Beheshti pudieron prepararse para nuevas competencias de matem√°ticas a nivel escolar y fueron las primeras mujeres part√≠cipes del equipo iran√≠ en las Olimpiadas Internacionales de Matem√°ticas. El esfuerzo rindi√≥ frutos: en 1994 y 1995 Mirzakhani se convirti√≥ en la primera iran√≠ en ganar dos medallas de oro y alcanzar puntaje perfecto en dichas olimpiadas. Este fue el empuj√≥n definitivo para decidir dedicarle su carrera a las matem√°ticas.
Luego de eso obtuvo su licenciatura en la Universidad de Tecnolog√≠a de Sharif (Ir√°n) en 1999, y en 2004 obtuvo su PhD en la Universidad de Harvard (Estados Unidos) bajo la tutela de Curtis McMullen, medallista Fields. Su tesis doctoral ya incluye uno de sus m√°s grandes logros cient√≠ficos al encontrar una f√≥rmula asint√≥tica para el n√ļmero de geod√©sicas simples en superficies de Riemann; encontrando de paso una demostraci√≥n alternativa a una importante conjetura de Witten. Luego trabaj√≥ en el Instituto Clay de Matem√°ticas y en la Universidad de Princeton antes de radicarse en la Universidad de Stanford en 2008 [1].

Su obra

Como se mencion√≥ anteriormente, su trabajo se centraba en la teor√≠a de las superficies de Riemann. Exponer de manera detallada su obra se escapa inmensamente del alcance de este art√≠culo, por lo que expondremos de forma sucinta s√≥lo uno de sus trabajos, aunque posiblemente uno de los m√°s importantes: el teorema de Eskin‚ÄďMirzakhani‚ÄďMohammadi [7] sobre las √≥rbitas cerradas de las superficies de traslaci√≥n.
Una superficie de traslación es un polígono con las siguientes características:
1.
Tiene una cantidad par de lados.
2.
Todo lado est√° emparejado con otro lado opuesto, paralelo y de exactamente el mismo largo.
Ejemplos de superficies de traslaci√≥n. Los n√ļmeros indican la forma emparejar los lados.
Ejemplos de superficies de traslaci√≥n. Los n√ļmeros indican la forma emparejar los lados.
El emparejamiento de lados en realidad indica una forma de identificar los lados (en el sentido de considerarlos el mismo). Para entender mejor esta idea, recuerde cómo en Pacman el personaje aparece por el lado opuesto al salir del escenario. Nosotros proponemos una versión un poco más complicada:
Juego de Pacman en una superficie plana. Al salir del pol√≠gono se ¬ętransporta¬Ľ, mediante una traslaci√≥n, al lugar correspondiente del lado emparejado.
Estos objetos matemáticos se llaman superficies porque, aunque no lo parezca a primera vista, en realidad representan donas con posiblemente más de un agujero. En efecto, la idea de identificar lados del polígono también puede entenderse como pegarlos con pegamento. Siguiendo esta idea, el caso más simple de visualizar es el de un rectángulo: pegando los lados opuestos, se obtiene una dona:
Pasos intermedios al pegar los lados opuestos de un cuadrado hasta obtener una dona.
Los polígonos más complicados también producen superficies de este estilo, aunque en casos distintos al del toro es difícil visualizar los pasos intermedios. Sea cual sea el polígono inicial, se obtendrá una dona con alguna cantidad finita de agujeros.
Superficies con dos y tres agujeros. Fuente: Wikipedia.
Una observaci√≥n fundamental en la teor√≠a de superficies de traslaci√≥n es que √©stas no cambian al aplicar operaciones de cortar y pegar. Esto es, si se corta el pol√≠gono a lo largo de cualquier l√≠nea recta y luego se pegan los trozos seg√ļn los lados identificados, se obtiene exactamente la misma superficie de traslaci√≥n. De hecho, como los lados del pol√≠gono fueron identificados de a pares, un pol√≠gono es solo una de muchas posibles representaciones de la superficie. Al cortar por l√≠neas rectas y luego pegar se obtienen m√°s formas de dibujar la misma superficie.
Comenzando con el pol√≠gono de arriba a la izquierda, elegimos una l√≠nea por donde cortar. Luego, pegamos los dos pol√≠gonos resultantes juntando sus lados 1, obteniendo finalmente el pol√≠gono de abajo a la izquierda. El pol√≠gono original y final representan exactamente la misma superficie de traslaci√≥n. Note que se crearon nuevos lados etiquetados por 5, 6, 7, 8 y 9. Los dos primeros provienen de cortar el lado 2, el lado 7 proviene de la l√≠nea por donde elegimos cortar y los √ļltimos dos de cortar el lado 4.
Comenzando con el pol√≠gono de arriba a la izquierda, elegimos una l√≠nea por donde cortar. Luego, pegamos los dos pol√≠gonos resultantes juntando sus lados 1, obteniendo finalmente el pol√≠gono de abajo a la izquierda. El pol√≠gono original y final representan exactamente la misma superficie de traslaci√≥n. Note que se crearon nuevos lados etiquetados por 5, 6, 7, 8 y 9. Los dos primeros provienen de cortar el lado 2, el lado 7 proviene de la l√≠nea por donde elegimos cortar y los √ļltimos dos de cortar el lado 4.
Además, las superficies de traslación se pueden deformar aplicando escalamientos, rotaciones y cizalladuras. Estas deformaciones dan origen, en general, a superficies de traslación distintas a la original.
Deformaciones de superficies de traslaci√≥n. Note que no cambia la ¬ęesencia¬Ľ del pol√≠gono: sigue teniendo la misma cantidad de lados y el emparejamiento sigue siendo el mismo.
Deformaciones de superficies de traslaci√≥n. Note que no cambia la ¬ęesencia¬Ľ del pol√≠gono: sigue teniendo la misma cantidad de lados y el emparejamiento sigue siendo el mismo.
Mirzakhani estudió en detalle el universo (o espacio) de todas las superficies de traslación. La observación anterior sobre los cortes por líneas rectas, sumada a la posibilidad de deformar las superficies, dota a este espacio de una rica estructura geométrica. Cerca de una superficie de traslación fija, la geometría se puede entender en términos de los lados del polígono: en efecto, cada lado se puede interpretar como un vector dotado de largo, dirección y sentido y las deformaciones corresponden a modificar linealmente estos vectores. Esto nos permite entender la geometría localmente. Sin embargo, la estructura global del espacio de las superficies de traslación es verdaderamente misteriosa y complicada.
Si consideramos todas las deformaciones posibles de una superficie de traslaci√≥n dada XX, obtenemos su √≥rbita. Luego, agregamos tambi√©n las superficies de traslaci√≥n que quedan arbitrariamente cerca de la √≥rbita, obteniendo la √≥rbita cerrada de XX. Una pregunta natural, entonces, es qu√© tan complicadas pueden ser las √≥rbitas cerradas de una superficie de traslaci√≥n dada. Como el espacio de las superficies de traslaci√≥n es misterioso, es esperable que las √≥rbitas cerradas sean conjuntos complicados. Lo que ella obtuvo junto a sus colaboradores es precisamente lo contrario: la √≥rbita cerrada de cualquier superficie de traslaci√≥n se puede entender, localmente, como un sistema de ecuaciones lineales (los mismos sistemas de ecuaciones que se resuelven durante la ense√Īanza media) donde las inc√≥gnitas son los lados del pol√≠gono.
Este resultado es sorprendente, elegante y tiene consecuencias muy fuertes en la teor√≠a de superficies de traslaci√≥n. Uno de sus principales usos es permitirnos encontrar teoremas para toda superficie de traslaci√≥n en vez de para casi toda. En efecto, la mayor√≠a de los m√©todos en sistemas din√°micos permiten saber qu√© ocurre para la mayor√≠a del sistema, pero muy pocas veces tenemos informaci√≥n sobre su totalidad. En t√©rminos m√°s concretos, los m√©todos en sistemas din√°micos permiten, por ejemplo, saber c√≥mo se comportan las trayectorias de la gran mayor√≠a de los planetas, pero si a uno le interesa saber el comportamiento de la Tierra estos m√©todos se vuelven, en general, in√ļtiles. El teorema de Eskin‚ÄďMirzakhani‚ÄďMohammadi funciona como una ¬ęvarita m√°gica¬Ľ que permite pasar de lo t√≠pico a lo absoluto. De hecho, el matem√°tico Alex Wright, luego de pasar meses entendiendo el gigantesco art√≠culo de 172 p√°ginas, describe este avance como ¬ęel comienzo de una nueva era. Es como si antes hubi√©semos estado tratando de talar un bosque de secoyas con un hacha de mano y que ahora inventaran una motosierra¬Ľ [6].
Adem√°s, el teorema tiene alcances m√°s all√° de la matem√°tica. Por ejemplo, el espacio de las superficies de Riemann, que est√° √≠ntimamente relacionado con el espacio de las superficies de traslaci√≥n, da origen al espacio de las variedades de Calabi‚ÄďYau, objeto de constante estudio en f√≠sica te√≥rica.

Su legado

Mirzakhani se reconoc√≠a a s√≠ misma como una persona que trabajaba de manera lenta. Sin embargo, su manera de trabajar fue siempre perseverante, atacando sin temor problemas dif√≠ciles y desafiantes. ¬ęHay que ignorar la fruta m√°s f√°cil de alcanzar en el √°rbol, lo que puede ser un poco complicado. No s√© si es la mejor manera de trabajar, el camino puede parecer una tortura. Pero la vida no est√° hecha para que sea f√°cil¬Ľ [4].
Siempre fue reconocida por sus pares como una persona muy talentosa, entusiasta y perseverante. ¬ęTodas las charlas suyas en la que he estado presente han estado llenas de entusiasmo chispeante y contagioso, optimismo, y una apreciaci√≥n de la belleza en las matem√°ticas. Te inspiran a atacar problemas que parecen aterradoramente dif√≠ciles y, siguiendo los pasos de Maryam, a no darse por vencido cuando estos problemas se resisten en ser resueltos¬Ľ [5].
Ser la primera mujer en obtener una medalla Fields la convirti√≥ en una especie de s√≠mbolo en una disciplina donde el imbalance de g√©nero hist√≥ricamente ha sido muy marcado. Al obtener la medalla Fields, el profesor Dame Frances Kirwan (de la Universidad de Oxford, miembro del comit√© de selecci√≥n) dijo ¬ęespero que este premio inspire a muchas m√°s mujeres y ni√Īas, en este pa√≠s y en todo el mundo, a creer en sus propias habilidades y so√Īar con ser las medallistas Fields del futuro¬Ľ [2]. A pesar de no querer cargar con la responsabilidad de ser ¬ęla representante de las mujeres en las matem√°ticas¬Ľ, Mirzakhani se sent√≠a segura de que habr√≠an m√°s mujeres ganadoras de medallas Fields en el futuro [4].
En una entrevista de 2004, le preguntaron qu√© consejo le dar√≠a a la gente que quiere saber m√°s sobre matem√°ticas. ¬ęNo creo que todas las personas del mundo deban convertirse en matem√°ticos, pero creo que muchos estudiantes no le dan a la matem√°tica la oportunidad que se merece. Durante un par de a√Īos durante mi ense√Īanza b√°sica mis notas en matem√°ticas fueron muy malas, simplemente porque no me interesaba pensar en ellas. Puedo entender que la matem√°tica puede parecer fr√≠a o sin sentido si no est√°s interesado en ella. La belleza de la matem√°tica solo se muestra a sus seguidores m√°s pacientes¬Ľ [3].
En el mundo científico, dominado por hombres y con desarrollo científico más bien occidental, Maryam Mirzakhani rompió estigmas y empujó la frontera del conocimiento más allá de lo que podemos actualmente vislumbrar. Su temprana partida es una gran pérdida para las matemáticas y para la ciencia mundial.

Agradecimientos

Agradecemos a Anton Zorich por las indicaciones a material bibliogr√°fico sobre la vida y obra de Maryam Mirzakhani.

Referencias

1.
International Mathematical Union. The Work of Maryam Mirzakhani [Internet]. 2014. Disponible en: http://www.mathunion.org
2.
Maryam Mirzakhani, first woman to win maths’ Fields Medal, dies. BBC News [Internet]. 15 de julio de 2017 [citado 15 de julio de 2017]; Disponible en: http://www.bbc.com
3.
Maryam Mirzakhani: ‚ÄúThe more I spent time on maths, the more excited I got‚ÄĚ | Science | The Guardian [Internet]. [citado 15 de julio de 2017]. Disponible en: https://www.theguardian.com
4.
Maryam Mirzakhani Is First Woman Fields Medalist | Quanta Magazine [Internet]. [citado 15 de julio de 2017]. Disponible en: https://www.quantamagazine.org
5.
Zorich A. The Magic Wand Theorem of A. Eskin and M. Mirzakhani. arXiv:150205654 [math] [Internet]. 19 de febrero de 2015; Disponible en: http://arxiv.org
6.
Meet the First Woman to Win Math’s Most Prestigious Prize | WIRED [Internet]. [citado 15 de julio de 2017]. Disponible en: https://www.wired.com
7.
Eskin A., Mirzakhani M., Mohammadi A. Isolation, equidistribution, and orbit closures for the SL(2,R)\mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) action on moduli space. Annals of Mathematics. 1 de septiembre de 2015;673‚Äď721.

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