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Sin Conflictos de Inter√©s (SCIencia): c√≥mo probar una conjetura matem√°tica de 40 a√Īos

Autor
Categoría
Matem√°ticas
Sin Conflictos de Interés
Fecha de Publicación
2016/11/11
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Buenos d√≠as, buenas tardes, bienvenidos a nuestra primera entrevista ¬ęSin Conflictos de Inter√©s (SCIencia)¬Ľ, con Etilmercurio.
Queremos agradecer a los auspiciadores que hacen posible esta secci√≥n: ... [SU MARCA PODR√ćA ESTAR AQU√ć]
La entrevista de hoy trata sobre el trabajo recientemente publicado de MichaŇā Kowalczyk y Claudio Mu√Īoz, acad√©micos e investigadores del Centro de Modelamiento Matem√°tico (CMM‚Ķ cuidado con los acr√≥nimos) y del Departamento de Ingenier√≠a Matem√°tica de la Facultad de Ciencias F√≠sicas Matem√°ticas de la Universidad de Chile, quienes junto con Yvan Martel de la √Čcole Polytechnique de Par√≠s, Francia (¬ę√©cole¬Ľ, jajaja), resolvieron un problema que estaba inconcluso... ¬°Desde hace casi 40 a√Īos! [1].
Como lo le√≠mos y no entendimos nada (salvo uno de nosotros, pero a quien tampoco se le entiende nada), preferimos preguntar a Claudio y MichaŇā qu√© hicieron y cu√°les son las implicancias de este trabajo.

Algo de contexto

Para que la entrevista tenga algo de sentido y no viva en el espacio (te pienso, Banach), tratemos de explicar un poco en qu√© problema trabajaron Claudio, MichaŇā e Yvan. Vamos a tratar de hacerlo lo suficientemente simple como para que hasta el que escribe lo entienda (?).
Imagínese un columpio, de esos que uno ve en el parque (o en La Parquería, como lo llaman en Providencia). Si usted lo empuja un poco, el columpio oscila, moviéndose de un lado a otro, como lo haría un péndulo. Si se desplaza el columpio de la vertical sólo un poquito, el tiempo en ir y volver será independiente de este desplazamiento inicial (por esto se usan relojes de péndulo: en ellos, un segundo es el tiempo de ir y volver, que es independiente de cuánto se mueve el péndulo). Esto no es tan así si es que el desplazamiento inicial es grande: a medida que el desplazamiento del columpio aumenta, el tiempo que demora en ir y venir es mayor. Es decir, el período del péndulo crece con el desplazamiento de éste.
Ahora, imag√≠nese que en La Parquer√≠a podemos poner un mont√≥n de columpios uno al lado del otro, amarrados por resortes de a pares, es decir, el primero amarrado con el segundo, el segundo con el tercero, el tercero con el cuarto y as√≠ en adelante. ¬ŅQu√© pasa si movemos uno de estos columpios s√≥lo un poquito? Bueno, como est√° acoplado con sus vecinos con resortes, ¬°va a moverlos! Y √©stos mover√°n a sus vecinos, y esos a sus vecinos, y as√≠ en adelante. Lo que esto genera es una propagaci√≥n que se desplaza con una velocidad bien definida, alej√°ndose de la fuente sin cambiar mucho de forma. Esto es una onda, que tiene apellidos (como los Donoso de T A L C A): es una onda no-dispersiva lineal. Lo primero significa que el pulso que se genera no se desarma al moverse y lo segundo que su velocidad de propagaci√≥n no depende de cu√°n grande es el movimiento inicial.
¬ŅPero qu√© pasa si el zamarreo inicial de un grupo de columpios es muy grande? Bueno, el movimiento del pulso a lo largo de la cadena de columpios depender√° de cu√°n grande sea la perturbaci√≥n inicial. Puede ser que esta perturbaci√≥n se mantenga impert√©rrita e impajaritable a lo largo de la cadena, o puede que se desarme. ¬ŅPueden estos pulsos mantenerse iguales todo el tiempo? ¬ŅO si uno les pega un poco se desarman?
Hay un tipo de pulso muy conocido en esta¬†clase de sistemas, conocido como ¬ękink¬Ľ (mucho antes que los socios de Londres). La forma de un kink es bastante sencilla: empuje la mitad de los p√©ndulos hacia adelante y la otra mitad hacia atr√°s. Este tipo de pulsos aparece en varias ramas de la f√≠sica, como el magnetismo y la fluidodin√°mica, por lo que conocer sus propiedades es importante para el control de estos sistemas.
Imag√≠nese ahora que nos la arreglamos para mover cada uno de los columpios de la cadena con la forma de un kink explicado en el p√°rrafo anterior. ¬ŅListo? ¬ŅLo vio? Ya, ahora suelte todos los columpios al mismo tiempo, dej√°ndolos oscilar. ¬ŅQu√© cree usted¬†que pasar√° con este pulso en el tiempo? ¬ŅSe desarmar√°? ¬ŅQuedar√° igual? ¬ŅQu√© ocurre si el movimiento inicial de los columpios se parece mucho a un kink, pero no lo es (alguno de los columpios se movi√≥ un poquito m√°s o un poquito menos al principio)? ¬ŅSe comportar√° de manera similar?
M√°s espec√≠ficamente, podemos preguntarnos si un kink es asint√≥ticamente estable: si consideramos un sistema muy parecido a un kink, ¬Ņse parecer√° cada vez m√°s a un kink a medida que transcurre el tiempo? Bueno, se cre√≠a que la respuesta era afirmativa, pero no hab√≠a ninguna prueba de ello (era una conjetura matem√°tica). Y ac√° es donde entran Claudio, MichaŇā e Yvan
Ahora, ¬°comencemos!
ETILMERCURIO: Claudio, MichaŇā, con mucho respeto, ¬Ņqu√© cresta hicieron?
CLAUDIO: Probamos que todas las perturbaciones impares de la soluci√≥n ¬ękink¬Ľ de un sistema hamiltoniano conocido como "Ōē4\phi^4" deben converger cuando el tiempo avanza a un estado de reposo local.
MICHAŇĀ: En el mismo tiempo entendimos el mecanismo de dispersi√≥n de energ√≠a de estas perturbaciones hacia el infinito.
E: Si fueras un animal, ¬Ņqu√© animal ser√≠as?
C: En mi caso, un puma.
M: Sin respuesta.
E: ¬ŅQu√© es un teorema? ¬ŅPor qu√© quieren demostrarlo? ¬ŅNo hay robots para eso?
C: Un teorema es una verdad absoluta, algo que no puede ser refutado. Demostrar un teorema es crear esa verdad absoluta, pero un robot no puede hacerlo siempre, ¬°pues la cantidad de casos posibles a verificar puede ser tremenda!
M: Esta pregunta toca los fundamentos de lo que es matemática. En general, una teoría (en matemática) parte de ciertos conceptos básicos (línea recta y punto en geometría, un conjunto en la teoría de conjuntos) y axiomas que son verdades evidentes en sí mismas. En base a ellos se desarrollan las  definiciones y teoremas. En este sentido, un teorema es una proposición que no es evidente en sí y debe ser probada partiendo de los axiomas u otros teoremas. Los teoremas dependen de la elección de axiomas. Por ejemplo, excluyendo  el quinto axioma de Euclides, uno llega a la geometría no-euclideana. Los teoremas de esta teoría pueden ser (y son) distintos de los de geometría euclideana, pero eso no significa que unos u otros son falsos.
E: Si mi AFP no me lo explica, ¬Ņme lo explican ustedes? ¬ŅCu√°l fue la motivaci√≥n de su pega? Explicado para afiliados, por supuesto.
C:Nuestra motivación está entre la física y la matemática. El problema es de origen físico, por lo que persigue esencialmente entender la realidad, en este caso una realidad simplificada, pero realidad al fin y al cabo.
M: Para mí, la motivación es siempre la misma: curiosidad.
E: ¬ŅQu√© es una ecuaci√≥n a derivadas parciales no lineales? Con las manitos eso s√≠.
C: Una ecuación a derivadas parciales es un balance fino de varias cantidades que varían cada una de ellas siguiendo diferentes patrones o reglas. Este balance se puede modelar usando herramientas matemáticas, en este caso, derivadas parciales.
M: Se podría agregar que las derivadas son parciales porque describen separadamente las variaciones en tiempo y en espacio de funciones que representan, por ejemplo, el perfil  de ondas (el caso de nuestra ecuación). La ecuación es no lineal cuando estas funciones aparecen en la ecuación tomadas, por ejemplo, a potencias mayores que 1.
E: ¬ŅC√≥mo afecta esto a Boca?
C: En nada en lo absoluto. No hay correlación evidente a día de hoy.
M: ...por suerte.
E: Ustedes hablan de estabilidad de las soluciones. Qu√©, ¬Ņacaso les falta litio? Cu√©ntennos sobre esto de la estabilidad.
C: Jajaja, nada de eso. En general, la mayor√≠a de las cosas que se ven en la vida real se ven precisamente porque son estables. La Tierra lo es, el Sol, el agua, nuestro cuerpos, etc. Algo que al parecer no es estable es el Sistema Solar, ¬°pero para que algo malo pase se necesitan muuuchos a√Īos de ir y venir!
M: La estabilidad tiene que ver con c√≥mo se comporta el sistema en largo tiempo. Los matem√°ticos que trabajan con ecuaciones que dependen de tiempo tratan de entender los estados finales antes de todo. Es como mirar primero la √ļltima p√°gina de una historia policial.
E: La canci√≥n dice que 40 a√Īos no es nada, pero... ¬Ņqu√© tan complejo era demostrar esto? ¬ŅPor qu√© nadie pudo llegar a una soluci√≥n antes? ¬ŅCu√°l es la historia detr√°s de la demostrasound? ¬ŅLas ecuaciones tambi√©n son como el vino?
C: Las ecuaciones pueden resolverse cuando las técnicas razonables para su resolución están disponibles. Creemos que no se había podido hacer esto antes pues estas técnicas simplemente no estaban sobre la mesa. Más que vino, las ecuaciones se comportan como países: cuando entiendes la cultura de un país, entiendes el país.
M: Yo agregar√≠a que hay tambi√©n un grado de buena o mala suerte: ¬ęit's good to be at the right place at the right time¬Ľ.

Referencias

[1] M. Kowalczyk, Y. Martel and C. Mu√Īoz, https://arxiv.org/pdf/1506.07420v2.pdf