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Sin Conflictos de Interés (SCIencia): cómo probar una conjetura matemática de 40 años

Autor
Categoría
Matemáticas
Sin Conflictos de Interés
Fecha de Publicación
2016/11/11
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Buenos días, buenas tardes, bienvenidos a nuestra primera entrevista «Sin Conflictos de Interés (SCIencia)», con Etilmercurio.
Queremos agradecer a los auspiciadores que hacen posible esta sección: ... [SU MARCA PODRÍA ESTAR AQUÍ]
La entrevista de hoy trata sobre el trabajo recientemente publicado de Michał Kowalczyk y Claudio Muñoz, académicos e investigadores del Centro de Modelamiento Matemático (CMM… cuidado con los acrónimos) y del Departamento de Ingeniería Matemática de la Facultad de Ciencias Físicas Matemáticas de la Universidad de Chile, quienes junto con Yvan Martel de la École Polytechnique de París, Francia («école», jajaja), resolvieron un problema que estaba inconcluso... ¡Desde hace casi 40 años! [1].
Como lo leímos y no entendimos nada (salvo uno de nosotros, pero a quien tampoco se le entiende nada), preferimos preguntar a Claudio y Michał qué hicieron y cuáles son las implicancias de este trabajo.

Algo de contexto

Para que la entrevista tenga algo de sentido y no viva en el espacio (te pienso, Banach), tratemos de explicar un poco en qué problema trabajaron Claudio, Michał e Yvan. Vamos a tratar de hacerlo lo suficientemente simple como para que hasta el que escribe lo entienda (?).
Imagínese un columpio, de esos que uno ve en el parque (o en La Parquería, como lo llaman en Providencia). Si usted lo empuja un poco, el columpio oscila, moviéndose de un lado a otro, como lo haría un péndulo. Si se desplaza el columpio de la vertical sólo un poquito, el tiempo en ir y volver será independiente de este desplazamiento inicial (por esto se usan relojes de péndulo: en ellos, un segundo es el tiempo de ir y volver, que es independiente de cuánto se mueve el péndulo). Esto no es tan así si es que el desplazamiento inicial es grande: a medida que el desplazamiento del columpio aumenta, el tiempo que demora en ir y venir es mayor. Es decir, el período del péndulo crece con el desplazamiento de éste.
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Ahora, imagínese que en La Parquería podemos poner un montón de columpios uno al lado del otro, amarrados por resortes de a pares, es decir, el primero amarrado con el segundo, el segundo con el tercero, el tercero con el cuarto y así en adelante. ¿Qué pasa si movemos uno de estos columpios sólo un poquito? Bueno, como está acoplado con sus vecinos con resortes, ¡va a moverlos! Y éstos moverán a sus vecinos, y esos a sus vecinos, y así en adelante. Lo que esto genera es una propagación que se desplaza con una velocidad bien definida, alejándose de la fuente sin cambiar mucho de forma. Esto es una onda, que tiene apellidos (como los Donoso de T A L C A): es una onda no-dispersiva lineal. Lo primero significa que el pulso que se genera no se desarma al moverse y lo segundo que su velocidad de propagación no depende de cuán grande es el movimiento inicial.
¿Pero qué pasa si el zamarreo inicial de un grupo de columpios es muy grande? Bueno, el movimiento del pulso a lo largo de la cadena de columpios dependerá de cuán grande sea la perturbación inicial. Puede ser que esta perturbación se mantenga impertérrita e impajaritable a lo largo de la cadena, o puede que se desarme. ¿Pueden estos pulsos mantenerse iguales todo el tiempo? ¿O si uno les pega un poco se desarman?
Hay un tipo de pulso muy conocido en esta clase de sistemas, conocido como «kink» (mucho antes que los socios de Londres). La forma de un kink es bastante sencilla: empuje la mitad de los péndulos hacia adelante y la otra mitad hacia atrás. Este tipo de pulsos aparece en varias ramas de la física, como el magnetismo y la fluidodinámica, por lo que conocer sus propiedades es importante para el control de estos sistemas.
Imagínese ahora que nos la arreglamos para mover cada uno de los columpios de la cadena con la forma de un kink explicado en el párrafo anterior. ¿Listo? ¿Lo vio? Ya, ahora suelte todos los columpios al mismo tiempo, dejándolos oscilar. ¿Qué cree usted que pasará con este pulso en el tiempo? ¿Se desarmará? ¿Quedará igual? ¿Qué ocurre si el movimiento inicial de los columpios se parece mucho a un kink, pero no lo es (alguno de los columpios se movió un poquito más o un poquito menos al principio)? ¿Se comportará de manera similar?
Más específicamente, podemos preguntarnos si un kink es asintóticamente estable: si consideramos un sistema muy parecido a un kink, ¿se parecerá cada vez más a un kink a medida que transcurre el tiempo? Bueno, se creía que la respuesta era afirmativa, pero no había ninguna prueba de ello (era una conjetura matemática). Y acá es donde entran Claudio, Michał e Yvan
Ahora, ¡comencemos!
ETILMERCURIO: Claudio, Michał, con mucho respeto, ¿qué cresta hicieron?
CLAUDIO: Probamos que todas las perturbaciones impares de la solución «kink» de un sistema hamiltoniano conocido como "ϕ4\phi^4" deben converger cuando el tiempo avanza a un estado de reposo local.
MICHAŁ: En el mismo tiempo entendimos el mecanismo de dispersión de energía de estas perturbaciones hacia el infinito.
E: Si fueras un animal, ¿qué animal serías?
C: En mi caso, un puma.
M: Sin respuesta.
E: ¿Qué es un teorema? ¿Por qué quieren demostrarlo? ¿No hay robots para eso?
C: Un teorema es una verdad absoluta, algo que no puede ser refutado. Demostrar un teorema es crear esa verdad absoluta, pero un robot no puede hacerlo siempre, ¡pues la cantidad de casos posibles a verificar puede ser tremenda!
M: Esta pregunta toca los fundamentos de lo que es matemática. En general, una teoría (en matemática) parte de ciertos conceptos básicos (línea recta y punto en geometría, un conjunto en la teoría de conjuntos) y axiomas que son verdades evidentes en sí mismas. En base a ellos se desarrollan las  definiciones y teoremas. En este sentido, un teorema es una proposición que no es evidente en sí y debe ser probada partiendo de los axiomas u otros teoremas. Los teoremas dependen de la elección de axiomas. Por ejemplo, excluyendo  el quinto axioma de Euclides, uno llega a la geometría no-euclideana. Los teoremas de esta teoría pueden ser (y son) distintos de los de geometría euclideana, pero eso no significa que unos u otros son falsos.
E: Si mi AFP no me lo explica, ¿me lo explican ustedes? ¿Cuál fue la motivación de su pega? Explicado para afiliados, por supuesto.
C:Nuestra motivación está entre la física y la matemática. El problema es de origen físico, por lo que persigue esencialmente entender la realidad, en este caso una realidad simplificada, pero realidad al fin y al cabo.
M: Para mí, la motivación es siempre la misma: curiosidad.
E: ¿Qué es una ecuación a derivadas parciales no lineales? Con las manitos eso sí.
C: Una ecuación a derivadas parciales es un balance fino de varias cantidades que varían cada una de ellas siguiendo diferentes patrones o reglas. Este balance se puede modelar usando herramientas matemáticas, en este caso, derivadas parciales.
M: Se podría agregar que las derivadas son parciales porque describen separadamente las variaciones en tiempo y en espacio de funciones que representan, por ejemplo, el perfil  de ondas (el caso de nuestra ecuación). La ecuación es no lineal cuando estas funciones aparecen en la ecuación tomadas, por ejemplo, a potencias mayores que 1.
E: ¿Cómo afecta esto a Boca?
C: En nada en lo absoluto. No hay correlación evidente a día de hoy.
M: ...por suerte.
E: Ustedes hablan de estabilidad de las soluciones. Qué, ¿acaso les falta litio? Cuéntennos sobre esto de la estabilidad.
C: Jajaja, nada de eso. En general, la mayoría de las cosas que se ven en la vida real se ven precisamente porque son estables. La Tierra lo es, el Sol, el agua, nuestro cuerpos, etc. Algo que al parecer no es estable es el Sistema Solar, ¡pero para que algo malo pase se necesitan muuuchos años de ir y venir!
M: La estabilidad tiene que ver con cómo se comporta el sistema en largo tiempo. Los matemáticos que trabajan con ecuaciones que dependen de tiempo tratan de entender los estados finales antes de todo. Es como mirar primero la última página de una historia policial.
E: La canción dice que 40 años no es nada, pero... ¿qué tan complejo era demostrar esto? ¿Por qué nadie pudo llegar a una solución antes? ¿Cuál es la historia detrás de la demostrasound? ¿Las ecuaciones también son como el vino?
C: Las ecuaciones pueden resolverse cuando las técnicas razonables para su resolución están disponibles. Creemos que no se había podido hacer esto antes pues estas técnicas simplemente no estaban sobre la mesa. Más que vino, las ecuaciones se comportan como países: cuando entiendes la cultura de un país, entiendes el país.
M: Yo agregaría que hay también un grado de buena o mala suerte: «it's good to be at the right place at the right time».

Referencias

[1] M. Kowalczyk, Y. Martel and C. Muñoz, https://arxiv.org/pdf/1506.07420v2.pdf