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¬ŅQu√© es la matem√°tica?

Autor
R
Rodolfo Gutiérrez
Nicol√°s Sanhueza Matamala
Nicol√°s Sanhueza Matamala
Categoría
Matem√°tica
Fecha de Publicación
2021/03/14
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Existen muchas definiciones de matemática. Algunas personas dicen que es una ciencia, otras que es una herramienta. Habrá quien diga que la matemática es un lenguaje, en el que se puede hablar sobre cosas técnicas de forma muy precisa... lo que no la hace muy diferente del alemán. Si algo importa en matemática es tener las definiciones claras, pero en este caso probablemente es imposible encontrar una que sea totalmente satisfactoria.
La matem√°tica: Como el alem√°n, pero sin chistes
Afortunadamente no todo est√° tan en el aire: sabemos que la matem√°tica trabaja sobre objetos matem√°ticos. Probablemente el primero que viene a la mente son los n√ļmeros. Sin embargo, a pesar de que los n√ļmeros son el objeto matem√°tico m√°s conocido en la vida cotidiana, la matem√°tica trabaja tambi√©n con muchos otros objetos: tri√°ngulos, funciones, ecuaciones, probabilidades, etc. Tratar de describirla de esta forma, como una lista de objetos de estudio, siempre se queda corto.
¬ŅY qu√© hacemos entonces? Por las razones anteriores, en este art√≠culo nos concentraremos en el m√©todo del quehacer matem√°tico. ¬ŅC√≥mo generamos conocimiento en matem√°tica? ¬ŅSe hace de manera diferente a otras disciplinas cient√≠ficas (incluyendo las ¬ęciencias exactas¬Ľ)? De paso, trataremos de dar algunas luces sobre cu√°l es el objetivo de esta disciplina.

El método matemático versus el método científico

Lo que queremos, entonces, es hablar del método matemático para generar conocimiento y la diferencia con el método científico. Para delimitar la discusión, compararemos a las ciencias exactas con la matemática, pero esto no significa que estemos afirmando que la matemática no es una ciencia. Su cualidad de ciencia (o no) es una pregunta profunda e interesante, pero fuera del enfoque de este artículo.
Comenzaremos discutiendo un poco sobre el método científico. Este método plantea una forma de conocer la realidad de forma verificable, porque se hace a través experimentos reproducibles, y dinámica, porque las teorías constantemente se adaptan a la evidencia más nueva.
El m√©todo cient√≠fico puede entenderse como una pauta (bastante amplia) que gu√≠a al quehacer cient√≠fico. Su objetivo es la elaboraci√≥n y puesta a prueba de una hip√≥tesis cient√≠fica, que es una posible explicaci√≥n de alg√ļn fen√≥meno. Muy resumidamente, este m√©todo requiere la formulaci√≥n de tal hip√≥tesis, el dise√Īo de experimentos que la contrasten la realidad, y la realizaci√≥n y an√°lisis de estos experimentos para confirmar o refutar la hip√≥tesis inicial. Luego de esto, es probable que sea necesario adaptar la hip√≥tesis para que se asemeje m√°s a las observaciones reales, antes de repetir el proceso para ponerla nuevamente a prueba.
Una caracter√≠stica epistemol√≥gica fundamental de las hip√≥tesis construidas con este m√©todo es que, incluso si toda la evidencia actual sugiere su veracidad, siempre es posible que surja nueva evidencia que las refute. Esto ha pasado una y otra vez a lo largo de la historia de la ciencia. Por ejemplo, las leyes de Newton‚ÄĒque son los fundamentos de la mec√°nica cl√°sica‚ÄĒse consideraron como una descripci√≥n completa de la realidad, hasta que nuevas observaciones provenientes del mundo subat√≥mico obligaron a cuestionarlas y corregirlas, dando origen a la mec√°nica cu√°ntica.
El m√©todo matem√°tico‚ÄĒes decir, la pauta que gu√≠a al quehacer matem√°tico‚ÄĒes mucho menos conocido. Intentaremos explicar en qu√© consiste este m√©todo a continuaci√≥n.

¬ŅQu√© es lo cierto en matem√°tica?

Hay mucho pa√Īo que cortar respecto a esta pregunta y es imposible hacerle justicia a todos los posibles puntos en un documento de esta longitud. Pero, al menos bajo cierto punto de vista, se puede decir que a diferencia del m√©todo cient√≠fico, en matem√°tica no existe ¬ęuna realidad¬Ľ contra la cual experimentar y contrastar hip√≥tesis. O al menos no de la misma manera que se hace en las otras ciencias. Por ejemplo, sabemos que un enunciado como ¬ę1+1=2¬Ľ es cierto, pero no nos hemos convencido de su veracidad porque sumamos uno m√°s uno much√≠simas veces y siempre nos dio el mismo resultado. La forma en que aceptamos enunciados como ciertos en matem√°tica es diferente.
Nadie: ¬Ņ1+1=2? Bertrand Russell: "Hold my smoke-emitting elongated torus"
¬ŅY c√≥mo es, entonces? La forma establecida de generar conocimiento nuevo en matem√°tica es mediante argumentos deductivos. En lugar de partir con una hip√≥tesis que se trata de comprobar mediante experimentos, un argumento matem√°tico v√°lido parte de ciertos axiomas, que son afirmaciones b√°sicas cuya validez suponemos de antemano y que pueden pensarse como los cimientos de una teor√≠a matem√°tica. A partir de estas afirmaciones, y usando l√≥gica, se crean nuevas afirmaciones cuya validez aceptamos. A esta clase de argumentos se les llama demostraci√≥n.
Como un ejemplo de razonamiento matemático en acción, podemos demostrar un enunciado sencillo:
Para todo n√ļmero real xx, su cuadrado x2x^2 no es negativo.
Posiblemente usted recuerde algunos ¬ęaxiomas¬Ľ sobre n√ļmeros reales que son relevantes ahora. En este caso, necesitamos invocar dos:
1.
(¬ęTricotom√≠a¬Ľ) Todo n√ļmero real o es negativo, o bien es positivo, o bien es cero. No hay m√°s opciones.
2.
(¬ęLey de signos¬Ľ) Un n√ļmero positivo multiplicado por un n√ļmero positivo da un n√ļmero positivo. Un n√ļmero negativo multiplicado por un n√ļmero negativo da un n√ļmero positivo.
Una posible demostraci√≥n funciona as√≠. Tomamos un n√ļmero xx cualquiera. Por la tricotom√≠a, solo tenemos tres opciones posibles: este n√ļmero es negativo, o es positivo, o es cero. El cuadrado es equivalente a multiplicar xx por s√≠ mismo. Con esta informaci√≥n, podemos ver cada uno de estos casos por separado.
Si el n√ļmero xx es positivo: estamos multiplicando un n√ļmero positivo por un n√ļmero positivo. La ley de signos nos dice que el resultado de tal operaci√≥n debe ser positivo. Entonces x2x^2 es positivo, por lo tanto, no es negativo.
Si el n√ļmero xx es negativo, estamos multiplicando un n√ļmero negativo por un n√ļmero negativo. La ley de signos nos dice que el resultado de tal operaci√≥n debe ser positivo. Entonces x2x^2 es positivo, por lo tanto, no es negativo.
Si el n√ļmero xx es cero, sabemos que cero por cero es cero. Luego x2x^2 no es un n√ļmero negativo.
No hay más casos, y en todos los casos que teníamos llegamos a la conclusión deseada. Por lo tanto, demostramos que el enunciado es cierto.
M√°s generalmente, diremos que una verdad matem√°tica (com√ļnmente llamada teorema) es un enunciado que ha sido demostrado de esta forma. Por lo tanto, la principal diferencia epistemol√≥gica entre el quehacer cient√≠fico y el quehacer matem√°tico es que, muy por el contrario de las teor√≠as cient√≠ficas, los teoremas no se pueden contradecir a trav√©s del surgimiento de nuevas observaciones de la realidad. Un teorema solo se puede refutar si es posible exhibir un error l√≥gico en alg√ļn argumento de la demostraci√≥n.
¬ŅSignifica entonces esto que los teoremas son inequ√≠vocamente ciertos? No, pues los razonamientos que llevan a demostrar un teorema son √ļltimamente desarrollados y revisados por seres humanos (a pesar de los recientes intentos de automatizar estos procesos). Los seres humanos somos evidentemente susceptibles a fallos y equivocaciones. Sin embargo, las demostraciones y refutaciones en matem√°tica son end√≥genas, en el sentido de que provienen de la matem√°tica misma, a diferencia de las demostraciones y refutaciones ex√≥genas, que provienen de experimentos y observaciones, en las ciencias exactas.
Similarmente, el objetivo de la matemática no es comprender la realidad como lo es el de las ciencias exactas, sino comprenderse a sí misma. Las preguntas y respuestas de la matemática surgen de la propia matemática, aunque pueden estar inspiradas en preguntas que provienen de otras disciplinas.
Los gr√°ficos hechos por periodistas son uno de los puntos de estudio permanente que a√ļn no logran una respuesta matem√°tica satisfactoria. ¬°A seguir estudiando, cerebritos!

Ya, ¬Ņy de qu√© sirve?

Esta pregunta es m√°s compleja de lo que podr√≠a parecer al principio y tiene much√≠simos matices. Quiz√° la respuesta m√°s generalizada es que la matem√°tica se considera √ļtil porque se aplica en la vida real y de manera cotidiana. Somos testigos de esto d√≠a a d√≠a, desde contar un vuelto a entender las cifras de una pandemia. Adem√°s, un aspecto donde la matem√°tica parece ser fundamentalmente √ļtil es su uso como herramienta en las otras ciencias. De forma muy simplificada podemos decir que, si bien la matem√°tica no corresponde exactamente a la descripci√≥n de una realidad tangible, podemos usarla para modelar la realidad suponiendo que la naturaleza sigue las reglas de la matem√°tica. De esta forma, podemos usar las predicciones hechas por estos modelos para intentar aproximarnos, entender, y tratar de predecir hechos de la vida real.
Por este √ļltimo punto es importante que el conocimiento matem√°tico est√© basado en deducciones l√≥gicas. Puede pasar que una explicaci√≥n cient√≠fica a un fen√≥meno tenga que ser revisada porque no era lo suficientemente adecuada (recordemos el ejemplo de las leyes de Newton), pero tenemos la certeza casi total de que fuente del error en la descripci√≥n no es que las matem√°ticas fallaron. Lo que puede suceder (y sucede) es que la descripci√≥n de la realidad que hicimos us√°ndolas no era la m√°s correcta. Entonces, podemos decir que el m√©todo matem√°tico tiene una utilidad concreta a la hora de usar la matem√°tica como herramienta: nos permite acorralar la fuente de los errores de nuestros modelos.
Otro ejemplo que ilustra el mismo punto puede ser usar matem√°tica para llevar la contabilidad de un almac√©n. Puede pasar (y lamentablemente pasa) que el conteo de dinero no calce con lo que creemos haber gastado y recibido. Pero si esto sucede, concluimos que o bien nos equivocamos al hacer los c√°lculos, o bien hemos detectado una incongruencia real. Pero sabemos que no puede pasar que‚ÄĒdigamos‚ÄĒpor condiciones ambientales los n√ļmeros est√©n sum√°ndose de forma distinta e inesperada cada vez. Esto nos otorga una de las pocas certezas que, dada toda la complejidad y hostilidad que el mundo real nos otorga d√≠a a d√≠a, valoramos profundamente.
Sin embargo, no es posible valorar una disciplina solamente mediante sus aplicaciones. Por ejemplo, la utilidad de una disciplina se puede juzgar seg√ļn su aplicabilidad real en la vida cotidiana, pero tambi√©n seg√ļn su aplicabilidad potencial en un futuro indeterminado. Incluso es posible decir que el valor de una disciplina se puede medir seg√ļn la satisfacci√≥n que surge de ella en las personas que la estudian o aprecian (como frecuentemente se hace con el arte, o el f√ļtbol circular).
Volvamos a los ejemplos. Probablemente la matem√°tica m√°s antigua que existe es el estudio de los n√ļmeros naturales. A pesar de que las reglas de operatoria b√°sica se conocen desde hace milenios, los matem√°ticos y matem√°ticas han intentado determinar patrones y propiedades much√≠simo m√°s complejos en los n√ļmeros naturales. De esta forma, se ha desarrollado lo que actualmente se conoce como la teor√≠a de n√ļmeros. Por siglos se pens√≥ que este estudio no ten√≠a aplicaciones en la vida cotidiana, e incluso teoristas de n√ļmeros prominentes han afirmado que la teor√≠a de n√ļmeros es el √°rea m√°s ¬ęnoble¬Ľ de la matem√°tica por su aparente lejan√≠a con las aplicaciones. Sin embargo, en las √ļltimas d√©cadas y con el advenimiento de Internet, se ha descubierto que la teor√≠a de n√ļmeros es √ļtil para la codificaci√≥n y decodificaci√≥n de mensajes [a]. De esta forma, se ha transformado la base fundamental de la criptograf√≠a, que permite, por ejemplo, que las transacciones en l√≠nea sean seguras.
El ejemplo anterior ilustra que no somos capaces de determinar cu√°l es la aplicabilidad potencial de un campo de investigaci√≥n en matem√°tica, por lo que hay quienes argumentan que la matem√°tica debe desarrollarse sin preocuparse por la posible utilidad. Estas personas dicen, entonces, que si en alg√ļn momento se requiere de cierta matem√°tica para enfrentar un problema real, es probable que ya exista si es que en el pasado se permiti√≥ que la investigaci√≥n en matem√°tica siga su curso natural.
Finalmente, es posible hacer un paralelo entre la matem√°tica y el arte. La matem√°tica es una construcci√≥n humana, social e intelectual que tiene sus propios c√°nones de calidad, elegancia y belleza. As√≠, un argumento simple, pero potente, que responde una pregunta que se pensaba complicada es considerado una obra de arte para quien se dedica al estudio de esta disciplina. Respecto a esto, el poeta portugu√©s Fernando Pessoa escribi√≥ ¬ęEl binomio de Newton es tan hermoso como la Venus de Milo. El problema es que muy poca gente se da cuenta de ello¬Ľ [b]. Estos motivos est√©ticos muestran que es tambi√©n posible apreciar la matem√°tica por sus propios m√©ritos, independiente de su utilidad pr√°ctica en la vida cotidiana.
Todos estos aspectos son parte de lo que apreciamos en la matem√°tica: las certezas que nos da su m√©todo l√≥gico, la invaluable herramienta que es a la hora de aplicarla, el potencial futuro de uso que tiene la matem√°tica que ahora consideramos poco pr√°ctica, la belleza que podemos encontrar en una demostraci√≥n elegante. Es esta amalgama de caracter√≠sticas que hacen que la matem√°tica ¬ęsirva¬Ľ de forma h√≠brida como herramienta y objeto de belleza a la vez: el √≥leo, el pincel y el cuadro en uno solo.

Agradecimientos

Gracias a Ocioyoghi por recordarnos que todo n√ļmero real al cuadrado es mayor o igual a cero.

Referencias

a. Guterl, F. (1994). Suddenly, Number Theory Makes Sense to Industry. Math Horizons, 2(2), 6‚Äď8. Disponible aqu√≠.
b. Pessoa, F. (1944, imp. 1993). Poesias de √Ālvaro de Campos (pp. 110). Lisboa: √Ātica. Disponible aqu√≠.

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