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La esperada demostración matemática que puede ayudar a escanear los interiores de Tierra (y de las sandías)

Autor
Categoría
Matem√°ticas
Tecnología
Fecha de Publicación
2017/03/24
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El 13 de febrero de 2017, los matemáticos Plamen Stefanov, Gunther Uhlmann y Andras Vasy (¡Uno de ellos es chileno! Adivine cuál...) anunciaron la resolución de un problema abierto hace décadas. Fueron mencionados incluso en la importantísima revista Nature.
Lo que estos matem√°ticos hicieron fue probar que para toda nn-variedad riemanniana MM, gg con n‚Č•3n\geq3, si ‚ąāM\partial M (como subvariedad de MM) es estrictamente convexa en un punto pp para dos m√©tricas, gg y g‚Ä≤g' y adem√°s las distancias inducidas por gg y g‚Ä≤g' coinciden en una vecindad de pp en ‚ąāM\partial M, entonces existe una vecindad OO de MM y un difeomorfismo Ōą\psi de OO en su imagen que fija cada punto de ‚ąāM‚ą©O\partial M \cap O y tal que g=Ōąg = \psi

KH√Č√Č√Č√Č√Č√Č√Č√Č√Č√Č√Č√Č√Č√Č√Č√Č

Perdón por el lapsus. No se preocupe: nosotros tampoco entendimos nada (?).
A muy grandes rasgos, el chorizo del p√°rrafo anterior resolver el siguiente problema.
Imagine que usted env√≠a una onda al interior de un objeto desde su superficie. Si usted mide el tiempo que tarda esa onda en regresar a la superficie, ¬Ņpodr√≠a obtener informaci√≥n sobre el interior de ese objeto? ¬ŅPuedo determinar la calidad de una sand√≠a d√°ndole golpecitos? ¬ŅPodr√≠a saber si el cuesco de una palta es grande o peque√Īo usando esta informaci√≥n aparentemente superficial?
Una onda que atraviesa un objeto viaja a velocidades distintas dependiendo del material que deba atravesar.
Si se pudiera obtener información del objeto a través de este método, entonces podemos imaginar diversas e interesantes aplicaciones. Una de ellas (que además fue una de las motivaciones principales detrás de esta investigación) es su uso en sismología, donde se buscaría obtener información sobre la estructura interna de las capas de la Tierra mediante el estudio de las ondas sísmicas.
Veremos más sobre las aplicaciones al final del artículo. Por ahora, analicemos un poquito el trasfondo matemático que viene detrás.

Variedades riemannianas

Tratemos de ser un poco más precisos. Este problema se enmarca en la geometría diferencial, el área de la matemática que estudia la geometría de ciertos objetos llamados variedades diferenciables. Las variedades diferenciables cumplen dos características:
‚ÄĘ
son suaves, es decir, est√°n ¬ęredondeadas¬Ľ por todas partes. Una esfera es suave, pero un cubo no lo es debido a que tiene √°ngulos rectos y puntas;
‚ÄĘ
mir√°ndolas de muy cerca, parecen ser un plano o el espacio tridimensional.
La segunda característica requiere mayor explicación. La superficie de nuestro planeta es un ejemplo para esto: desde cerca, se ve completamente plana; no parece ser curva. Sabemos que, en realidad, tiene la siguiente forma, a pesar de lo que digan los sientifikos:
¬ŅC√≥mo? ¬ŅAcaso usted es velocirraptomorfonegacionista?
Ahora, imagine que nuestro universo tuviera la forma del relleno de una esfera (o sea, imagínese que usted es un punto dentro de una pelota rellena). Sólo observando a su alrededor, no es posible determinar la estructura global del universo completo: de cerca, todo parece ser igual a un espacio tridimensional.
Una métrica riemanniana (en honor al gran matemático Bernhard Riemann) es una forma de medir distancias entre puntos de una variedad diferenciable. Hay muchas métricas riemannianas para la misma variedad diferenciable. Por ejemplo, si la variedad diferenciable es el planeta Tierra (incluyendo su superficie y su interior), podemos medir la distancia como el largo de una línea entre aquellos puntos. O, más interesante, como el tiempo que tarda una onda en viajar de un punto al otro. Esto da origen a dos métricas riemannianas distintas. Nótese que sólo la segunda métrica riemanniana considera que la Tierra no es homogénea. Una variedad diferenciable junto a una elección específica de métrica riemanniana se conoce como una variedad riemanniana.

La conjetura

Con todos estos conceptos, podemos enunciar la conjetura: la distancia entre todo par de puntos de la superficie de una variedad riemanniana determina completamente la métrica riemanniana. Es decir, para conocer la distancia entre cualquier par de puntos de la variedad riemanniana basta conocerla entre los puntos de la superficie de esta. En nuestro ejemplo de la Tierra, esto quiere decir que si pudiésemos medir el tiempo de viaje de ondas entre todos los puntos de la superficie, podríamos conocer el tiempo de viaje entre todos los puntos, incluyendo también el interior. El problema fue planteado por primera vez por René Michel en 1981, quien estudió y resolvió algunos casos particulares.
En realidad, la versión de la conjetura que parece haber sido demostrada es mucho más fuerte: nosotros hablamos de variedades en el espacio de tres dimensiones que nos es tan familiar, pero ha sido demostrada para cualquier cantidad de dimensiones.

Aplicaciones

Vámonos un poco de lo abstracto a lo concreto. La idea principal del resultado, que mencionamos al inicio, es que podemos obtener información del interior de un objeto analizando las ondas que lo atraviesan mediante sus efectos en la superficie.
Una situaci√≥n que re√ļne estas caracter√≠sticas es la obtenci√≥n de im√°genes m√©dicas mediante t√©cnicas como el ultrasonido. Es posible que este resultado ayude a mejorar los m√©todos ya existentes en esta disciplina.
Pero la motivación principal vino desde la geofísica: buscamos obtener información sobre la estructura interna de las capas de la Tierra mediante el estudio de las ondas sísmicas. En este caso, las ondas que viajan por el interior de la Tierra son ondas sísmicas. La mayor parte del tiempo, las ondas no viajan en línea recta sino que se ven curvadas debido a las distintas capas e imperfecciones de la Tierra. Esto permite decir algo sobre la estructura interior.
En un art√≠culo de Nature, el sism√≥logo computacional (nos avisan por interno que no, esta gente no investiga el efecto de los terremotos en los computadores, ni los terremotos provocados por computadora) Maarten de Hoop analiz√≥ las consecuencias del resultado para el ¬ęmundo real¬Ľ. El resultado del teorema exige medir las ¬ęondas¬Ľ en cada punto de la superficie, pero en la pr√°ctica s√≥lo tenemos mediciones en puntos aislados. Es posible que se puedan desarrollar t√©cnicas computacionales que permitan trabajar incluso con estos datos incompletos. Otra aplicaci√≥n podr√≠a ser estudiar m√°s a fondo lugares espec√≠ficos de la corteza terrestre, como las plumas mant√©licas (esas ¬ęcolumnas¬Ľ que supuestamente conectar√≠an el manto terrestre con la corteza, lo que explicar√≠a la gran actividad volc√°nica en algunas zonas del planeta) presentes en lugares como Hawaii e Islandia (#FuerzaBjork).
De cualquier forma, imaginamos que esta t√©cnica nos ayudar√° mucho a escoger la sand√≠a m√°s madura en la feria el pr√≥ximo verano. Lo que quiz√°s provoque una ca√≠da dr√°stica de las ventas de sand√≠as verdes y el empobrecimiento de los peque√Īos agricultores y feriantes que no se preocupen por llevar sand√≠as maduras y jugosas a la caserita y el caserito. Entonces, cuando esos pobres emprendedores quiebren y queden en la ruina, podr√°n echarle la culpa a la matem√°tica y sus est√ļpidas variedades riemannianas.

Apéndice pedante

Una palabra de precaución. Debido a que este resultado ha sido anunciado muy recientemente, no ha pasado todavía por el proceso de revisión por pares ni ha sido publicado en una revista científica. Esta advertencia no guarda relación con la estatura e importancia académica de sus autores ni con la seriedad de su trabajo, pero es necesario explicarlo: este resultado está en proceso de revisión académica.
Como en todo artículo de divulgación, es necesario simplificar algunos conceptos aunque ello implique perder rigurosidad. No hemos hecho una distinción clara entre variedad y variedad con frontera. Además, no se están explicitando todas las hipótesis técnicas que hacen cierto al teorema. En particular, falta especificar: 1) la convexidad estricta de la frontera y 2) que la métrica sólo queda determinada salvo un difeomorfismo que fija la frontera.

Referencias

1.
Davide Castelvecchi. Long-awaited mathematics proof could help scan Earth's innards [Internet]. 2017 [citado 24 de marzo de 2017]. Disponible en: [http://www.nature.com]
2.
Plamen Stefanov, Gunther Uhlmann, Andras Vasy. Local and global boundary rigidity and the geodesic X-ray transform in the normal gauge [ArXiv]. Disponible en: https://arxiv.org/abs/1702.03638