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Jean Baptiste Efrain Joseph Fourier Quintanilla

Autor
Categoría
Artículo
Fecha de Publicación
2018/04/09
Temas
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Recordemos que Michael Bay destruyó a los Transformers. Lloremos un poco.
Bueno, ahora dejemos de sufrir y concentrémonos en algo que vale la pena recordar: el 21 de marzo se celebró el natalicio de Joseph Fourier. Lo recordamos recién ahora porque somos iconoclastas y nos rebelamos frente a la absurda tradición de recordar a la gente por algo tan arbitrario como su fecha de nacimiento (no es que se nos haya ido en collera y se nos haya pasado la fecha).
Fourier fue un matemático y físico francés al que le debemos más de lo que usted alguna vez imaginó deberle a cualquier francés. Incluso más que a los panaderos franceses que inventaron el pan francés (también conocido como pan batido o marraqueta, de acuerdo a fascinantes variaciones regionales).
Joseph ¬ęuno que otro segundo nombre franc√©s¬Ľ Fourier fue un alumno adelantado de cracks franceses como Joseph ¬ęotro segundo nombre pomposo¬Ľ Lagrange y Pierre-Simon Laplace en la prestigiosa √Čcole Normale Sup√©rieure de Paris.
Pero, antes de eso, qued√≥ hu√©rfano a los 9 a√Īos, fue educado por los benedictinos y estuvo preso brevemente durante el R√©gimen del Terror (y eso que nuestro amigo trabaj√≥ en uno de los comit√©s revolucionarios). Tambi√©n fue asesor cient√≠fico de Napole√≥n Bonaparte durante su expedici√≥n a Egipto y hasta se dedic√≥ a escribir papers cient√≠ficos en El Cairo cuando la flota brit√°nica cort√≥ las rutas de regreso a Francia.
Cuando finalmente regres√≥ a Francia, Fourier quiso retomar su puesto acad√©mico en la √Čcole Polytechnique, pero Napole√≥n insisti√≥ en darle cargos pol√≠ticos y lo nombr√≥ prefecto del Departamento de Is√®re en Grenoble.
Nos imaginamos cómo debe haber sido el diálogo de Fourier con Napoleón.
‚ÄĒPor fin de vuelta a Francia. Ya no soportaba mascar arena todo el d√≠a. ¬°Y el calor! ¬°Uf! Deber√≠a investigar sobre c√≥mo se propaga el calor... ‚ÄĒ¬°Joseph! ¬°Mi fiel Joseph! Por fin regresaste a la bella Francia. ‚ÄĒHola, Napo. El calor de Egipto me estaba matando. No esperes que te voy a acompa√Īar de nuevo en una de tus aventuras... ‚ÄĒTranquilo, ya no saldr√°s de Francia. Quiero recompensarte por tus servicios y tu lealtad. ‚ÄĒOh, por favor. No fue nada: hago todo por nuestra patria... ‚ÄĒMira, hace poco falleci√≥ el prefecto del Departamento de Is√®re. Yo s√© que t√ļ tienes todas las cualidades para reemplazarlo. ‚ÄĒ¬°¬ŅQu√©?! ‚ÄĒLa paga es buena, estar√°s muy entretenido. ‚ÄĒ¬°Pero yo quiero investigar en la √Čcole Polytechnique! ‚ÄĒ¬ŅEst√°s despreciando mi recompensa, Joseph? ‚ÄĒEhm... No, claro que no.
Al menos, en Grenoble tuvo tiempo para investigar. Y de hecho presentó su artículo sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos en diciembre de 1807.
Más aun: monsieur Fourier descubrió que al representar una función matemática como una suma de funciones trigonométricas se simplificaba enormemente el estudio de la transferencia de calor. De aquí nace el análisis de Fourier, que tiene consecuencias desde prácticas hasta teóricas. Intentaremos develar un poquito de cada una de estas capas a continuación.

Fourier S01E01

El análisis de Fourier permite, entre otras cosas, representar cualquier función mediante una aproximación realizada a partir de sumas de otras funciones trigonométricas más simples. El análisis de Fourier es una de las herramientas más hermosamente formuladas de la historia del mundo mundial. Sin embargo, está escondida detrás de un mogollón de ecuaciones y términos que asustan hasta a los mechones y mechonas más valientes.
Xk=‚ąĎn=0N‚ąí1xn‚čÖe‚ąíi2ŌÄkn/NX_k = \sum_{n = 0}^{N-1}{x_n\cdot e^{-i 2 \pi k n /N}}
xn=1N‚ąĎk=0N‚ąí1Xk‚čÖei2ŌÄkn/Nx_n = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{X_k\cdot e^{i 2 \pi k n /N}}
Ewwww. Pero en vez de enredarnos con tanta ecuación ininteligible, veamos cuál es la idea detrás de ellas.
Imagine que una ma√Īana va a uno de esos lugares en que, en vez de una marraqueta con arrollado (la cantidad de dientes que tiene una marraqueta queda para otro post), sirven smoothies al desayuno (entender por qu√© usted har√≠a eso nos resulta m√°s dif√≠cil que entender las ecuaciones anteriores). Un smoothie, seg√ļn nuestro alumno de intercambio en pr√°ctica, es la forma si√ļtica, innecesaria y extranjerizante para referirse a un batido con helado.
Suponga ahora que, a rega√Īadientes, prob√≥ el smoothie y resulta que lo encontr√≥ sabros√≠simo. ¬°Qu√© delicia! Cuando fue a pedir otro se dio cuenta del valor de ese vaso y le doli√≥ hasta el p√≠loro. As√≠ que decidi√≥ comprar los ingredientes en la feria libre para prepararse ese manjar en la comodidad de su hogar (y a una fracci√≥n del precio). Sin embargo, cuando fue a pedirle la receta al amable joven que lo atendi√≥, este se neg√≥ a entregar tan secreta informaci√≥n. La decepci√≥n se apoder√≥ de usted al no poder saber qu√© frutas se combinaron en ese exquisito, cremoso, bello y desconocido smoothie.
¬°Qu√© √ļtil ser√≠a en ese momento tener una batidora inversa, que tomara el smoothie, una papilla o un pur√© y le dijera los ingredientes que lo componen!
Aqu√≠ es donde aparece la utilidad de la transformada de Fourier. La transformada de Fourier toma un patr√≥n basado en el tiempo, mide cada ciclo posible y devuelve la ¬ęreceta de ciclo¬Ľ general. Volviendo al ejemplo anterior, es como si le pas√°ramos el smoothie y nos entregara una lista de sus ingredientes con sus cantidades precisas.

Lo que tienen en com√ļn los mp3 y las falsificaciones de Pollock

Sabemos lo que est√° pensando. ¬ęYa, ¬Ņpero cu√°ndo voy a usar esa brujer√≠a en mi rutina diaria? Mientras no sirva para descifrar el misterio del amor y de la muerte, me parece una p√©rdida de tiempo¬Ľ. Lo sab√≠amos desde antes de empezar a escribir este post, por lo tanto nos preparamos.
Otro día más en que prefiere no descubrir algo nuevo.
La verdad es que la aplicación de la transformada de Fourier está muy presente en nuestra vida, sobre todo en el ámbito tecnológico.
Como explicamos anteriormente, la finalidad de la transformada es ¬ęsimplificar¬Ľ una funci√≥n para entregar una aproximaci√≥n. ¬ŅAlguna vez ha escuchado una canci√≥n en formato FLAC? Dicen los entendidos en m√ļsica que es la representaci√≥n m√°s exacta del sonido que fue grabado en el estudio. La gran desventaja de este formato es su tama√Īo. Recordemos que durante la d√©cada 1990 la velocidad de la red distaba mucho de las actuales: descargar un archivo de m√°s de 10 MB implicaba largos y angustiosos minutos de espera, adem√°s de poner especial cuidado para mantener al resto de la familia lejos del tel√©fono.
Precisamente por la dificultad de difundir sonidos digitales de forma sencilla, ingenieros alemanes del Instituto Fraunhofer IIS trabajaron para obtener un archivo de sonido de menor tama√Īo, pero sin una gran p√©rdida de calidad. El truco que ocuparon es el siguiente: tomaron un archivo lossless y lo dividieron en pedazos de un tama√Īo determinado. Sobre cada uno de esos trozos aplicaron una versi√≥n de la transformada de Fourier, conocida como transformada de Fourier discreta, que devuelve los ¬ęingredientes¬Ľ del segmento y reemplaza el original.
La ventaja de la transformada es que indica qu√© notas contribuyen mayormente a crear la canci√≥n, por lo que podemos conocer cu√°les son esenciales para reproducir correctamente el sonido original. Las notas altas no son tan importantes, ya que no podemos escucharlas (a menos que usted tenga un s√ļper o√≠do), por lo que se eliminan en el proceso. Esto permite una mayor compresi√≥n en la informaci√≥n y una reducci√≥n en el tama√Īo del archivo.
Y... Voil√† ! As√≠ naci√≥ el formato mp3 que, con su reducido tama√Īo, permiti√≥ que muchos pudi√©ramos descargar y compartir ilegalmente toda la m√ļsica que nuestros ro√Īosos discos duros de 10 GB nos permit√≠an.
Las aplicaciones de reconocimiento de canciones (como la pionera Shazam) funcionan de forma similar. Dividen la m√ļsica en segmentos y utilizan la transformada para obtener las notas ¬ęingredientes¬Ľ. Luego buscan en una gigantesca base de datos para ver si esta ¬ęhuella¬Ľ de notas calza con alguna de las que se tiene almacenada. Lo mismo ocurre con el reconocimiento de voz utilizado por su smartphone favorito, donde se compara las notas en su hablamiento con un listado conocido de palabras.
Algo similar ocurre con los archivos de im√°genes. Probablemente usted ha notado que existen distintos formatos de im√°genes, cada uno con sus calidades y tama√Īos: el formato jpeg es el mp3 de las im√°genes. Al tomar una imagen sin compresi√≥n y convertirla a jpeg, la imagen se divide en segmentos de 8 x 8 pixeles y se va reconstruyendo con los ingredientes esenciales, logrando una gran disminuci√≥n en el tama√Īo del archivo con una leve reducci√≥n en su calidad.
Excepto en los memes que envía su tía favorita al grupo de la familia.
En general, las aplicaciones de esta herramienta en la ciencia abarcan desde la din√°mica de fluidos hasta la astronom√≠a, pasando por el an√°lisis de estructuras celulares, de se√Īales digitales y el estudio de la ac√ļstica de los instrumentos musicales. La aplicaci√≥n de la transformada incluso permiti√≥ reconocer cuadros falsificados de Jackson Pollock descifrando los qu√≠micos presentes en la pintura (1).
Así que cuando escuche su disco favorito en su reproductor de mp3 o disfrute de unos memazos de gran calidad, recuerde que detrás de esto se encuentra esta poderosa herramienta.

De ecuaciones diferenciales y la velocidad del Transantiago

Por supuesto, el trabajo de Fourier no solo sirve para escuchar esas maravillosas obras de m√ļsica trap. Su trabajo ha sido muy relevante en la matem√°tica m√°s te√≥rica. De hecho, la idea fourieriana de ¬ędescomponer¬Ľ funciones sigue siendo influyente en muchos contextos matem√°ticos. Entre estos, destaca la teor√≠a de ecuaciones diferenciales: aqu√≠, el an√°lisis de Fourier juega un rol fundamental.
Primero, le explicaremos qué es la derivada de una función.
Imagine que usted, que usa frecuentemente el transporte p√ļblico santiaguino, quiere estimar cu√°n r√°pido se mueve su l√≠nea de Transantiago preferida. Como usted no es uno de esos millennials que le conf√≠an su vida a sus smartphones y a sus apps, las √ļnicas herramientas que posee son un l√°piz, papel y un reloj. Por otro lado, sabe que cada cuadra del centro capitalino suele medir entre 100 y 150 metros, as√≠ que decide irse a la segura y estima una longitud de 125 metros por cuadra, o un kil√≥metro por cada 8 cuadras.
Recordando que la rapidez es la tasa de cambio de la distancia recorrida, decide registrar el tiempo que tarde en bus en recorrer cada kilómetro, es decir, cada tramo de 8 cuadras como primera estimación. Luego calcula el cociente entre la distancia recorrida (un kilómetro) y el tiempo que tardó el bus en recorrerla (que usted midió con el reloj). Graficando el resultado, obtiene algo como esto:
Rapidez medida cada ocho cuadras.
Como no está satisfecho con esa aproximación, decide repetir el ejercicio, pero esta vez por cada dos cuadras recorridas, obteniendo un gráfico así:
Rapidez medida cada dos cuadras.
Podr√≠a continuar ahora por cada cuadra o media cuadra. Si tuviera una forma m√°s precisa de medir la distancia recorrida (como por ejemplo el GPS de un smartphone), podr√≠a calcular la rapidez en intervalos de tiempo cada vez m√°s peque√Īos. Esta √ļltima idea es precisamente la definici√≥n de la derivada de una funci√≥n: su tasa de cambio, definida como la ¬ęrapidez¬Ľ de la funci√≥n en intervalos de tiempo arbitrariamente peque√Īos. La derivada de la posici√≥n es la velocidad y la derivada de esta √ļltima es la aceleraci√≥n. En nuestro ejemplo, la verdadera rapidez, comparada con la que fue medida cada dos cuadras, se ve as√≠:
Rapidez medida cada dos cuadras (azul) y verdadera rapidez medida en tiempos arbitrariamente peque√Īos (anaranjado).
Una ecuaci√≥n diferencial es un tipo de ecuaci√≥n funcional. Es decir, una ecuaci√≥n en la que la inc√≥gnita es una funci√≥n. Las ecuaciones diferenciales relacionan una funci√≥n inc√≥gnita con sus derivadas. Un ejemplo de ecuaci√≥n diferencial es la segunda ley de Newton que relaciona la aceleraci√≥n con la fuerza. Para saber c√≥mo se mueve el sistema ‚ÄĒsu posici√≥n en el tiempo‚ÄĒ hay que recuperarla a partir de informaci√≥n sobre su aceleraci√≥n que es la derivada de su derivada (o segunda derivada).
La derivada es una operación complicada sobre una función y, por lo tanto, las ecuaciones diferenciales son difíciles de entender. La transformada de Fourier es importante en esta teoría porque transforma la derivada de una función en una operación muchísimo más simple, es decir, en una multiplicación (spoiler por si sabe álgebra lineal: esta idea es muy profunda y tiene que ver con el teorema espectral para operadores no acotados, que es una amplia generalización de la idea de diagonalizar matrices simétricas).
De esta forma, al usar la transformada de Fourier en una ecuación diferencial podemos transformar una ecuación complicada en una ecuación más sencilla que muchas veces se puede resolver (o al menos entender) mediante métodos conocidos.

Fourier caluroso

El desarrollo de esta teoría por parte de Fourier tuvo el propósito de plantear (¡y resolver!) un problema que estaba aquejando a los científicos del siglo XVIII: cómo modelar el calor mediante ecuaciones. Gigantes como Lavoisier, Laplace y Biot dedicaron parte de sus estudios a este problema, específicamente al problema de entender cómo se comporta el calor en un sólido.
Una de las ideas primordiales refinadas durante esa época fue la siguiente: la tasa en la que un sólido pierde calor (o sea, su derivada) es proporcional a la diferencia de calor entre el sólido y el ambiente.
Esto fue formalizado por Fourier como una ecuaci√≥n diferencial que relaciona la temperatura con la derivada de la temperatura, lo que se conoce como la ecuaci√≥n diferencial del calor. Fourier desarroll√≥ las t√©cnicas del an√°lisis de Fourier, de las que hablamos en la secci√≥n anterior, justamente para poder resolver ecuaciones de este tipo. Pero es notable que el planteamiento de ecuaci√≥n del calor hecho por Fourier, por s√≠ solo, ha sido enormemente influyente. Esta ecuaci√≥n se ha usado en much√≠simas aplicaciones en la realidad, no solo para modelar fen√≥menos de calor: ideas similares se usan para modelar fen√≥menos el√©ctricos, econ√≥micos, etc. y cualquier cosa que tenga ¬ędifusi√≥n¬Ľ.
Para terminar, hay que mencionar otro descubrimiento notable de Fourier. En 1824 calcul√≥ cu√°n caluroso deber√≠a ser un objeto del tama√Īo de la Tierra ubicado a la misma distancia que existe entre la Tierra y el Sol si solo consideramos la energ√≠a que recibe v√≠a solar. Lleg√≥ al resultado contraintuitivo de que dicho objeto deber√≠a ser much√≠simo m√°s fr√≠o que lo que es la Tierra normalmente. Tratando de buscar una explicaci√≥n a este fen√≥meno plante√≥ que la atm√≥sfera terrestre actuaba como un ¬ęaislante¬Ľ y esto le permit√≠a conservar de mejor forma el calor recibido por el Sol. Es decir, monsieur Fourier descubri√≥ el efecto invernadero, tan ineludible a la hora de discutir del cambio clim√°tico.

Referencias

1.
Rae Nelson, M. Authentic or not? Chemistry Solves the Mystery. Disponible aquí.
2.
Narasimhan TN. Fourier‚Äôs heat conduction equation: History, influence, and connections. Rev Geophys. 1999;37(1):151‚Äď72. Disponible aqu√≠.
3.
Fourier J (1824). "Remarques G√©n√©rales Sur Les Temp√©ratures Du Globe Terrestre Et Des Espaces Plan√©taires". Annales de Chimie et de Physique. 27: 136‚Äď67.