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Buenos d√≠as. ¬ŅTiene un minuto para hablar de mapas?

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Fecha de Publicación
2016/10/13
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Probablemente usted ha intentado envolver una pelota en papel de regalo. Aunque es posible lograr que se vea bastante bien, ni siquiera el empaquetador con m√°s propinas puede evitar que el papel quede con algunas arrugas o dobleces (sobre todo si son scouts). ¬ŅHabr√° alguna forma de hacerlo perfectamente, sin romper el papel?
Disclaimer: Igual para envolver una pelota es mejor usar una caja, puesto que el regalo será obvio si se usa un papel. Sí, papá, siempre lo supe. Mi cara de sorpresa fue una actuación.
Este problema se puede plantear de una forma rec√≠proca, pero a fin de cuentas equivalente: ¬Ņes posible aplanar perfectamente una c√°scara de naranja sin romperla?
La respuesta a ambas preguntas es ¬ęno¬Ľ y no es porque seamos demasiado torpes para hacerlo: es matem√°ticamente imposible hacerlo. Aunque pueda parecer sorprendente, este hecho repercute de forma significativa en nuestra vida cotidiana, con consecuencias mucho m√°s trascendentales que no poder aplastar una naranja. En efecto, no es posible ¬ęaplanar¬Ľ la Tierra en un mapa cuadrado sin romperla ni estirarla. Los mapas que usamos todos los d√≠as necesariamente incluyen distorsiones indeseables.
Vamos a leer un poco sobre las propiedades matemáticas que impiden hacer mapas perfectos y luego vamos a hablar sobre cómo cresta se las han tratado de arreglar para hacer mapas de todas formas a pesar de estas limitaciones.
De hecho, es muy probable que si el trovador (?) Ricardo Arjona hubiese le√≠do este post, su canci√≥n dir√≠a algo como ¬ęOlvidarte es m√°s dif√≠cil que planchar un mapa¬Ľ (aunque seguir√≠a siendo igual de mala).

Me fascina tu curvatura

La respuesta negativa a las preguntas anteriores se basa en la curvatura: un concepto matem√°tico que mide qu√© tanto se aleja una superficie de ser un plano en un punto dado. Cada punto sobre la superficie tiene asociado un n√ļmero, la curvatura de ese punto, que mide qu√© tan ¬ępoco plana¬Ľ es la superficie vista desde ese punto. La curvatura es una noci√≥n local, lo que significa que s√≥lo depende de las cercan√≠as del punto y no de toda la superficie.
Ambas superficies tienen la misma curvatura en el punto rojo, pues son iguales alrededor de ese punto. Claramente, las superficies no son globalmente iguales.
El signo de la curvatura (es decir, si es positiva, negativa o cero) se puede interpretar f√°cilmente, como muestra la siguiente imagen:
Curvatura positiva: la superficie es curva en ambas dimensiones. Van en el mismo sentido. Curvatura cero: la superficie es plana en al menos una dimensión. Curvatura negativa: la superficie es curva en ambas dimensiones. Van en sentidos opuestos.
Los matem√°ticos, que obviamente no tienen nada mejor que hacer, han logrado entender cu√°les son las superficies que tienen curvatura constante, es decir, que es igual en todos sus puntos. Dependiendo de si la curvatura es positiva, cero o negativa, respectivamente, toda superficie con curvatura constante proviene de una de las siguientes tres superficies fundamentales: la esfera, el plano y el hiperboloide [1,2].
Un hiperboloide hecho de lana. El hiperboloide es la menos conocida de las tres superficies fundamentales con curvatura constante. Su curvatura es negativa e igual en todos los puntos. Fuente: Wikipedia.
¬ŅY qu√© tiene que ver esto con los mapas, los regalos o las naranjas?
Fue Carl Friedrich Gauss, uno de los m√°s grandes matem√°ticos de todos los tiempos, el que logr√≥ establecer en su Theorema Egregium (lat√≠n para ¬ęTeorema destacable¬Ľ) que la curvatura no cambia al deformar una superficie sin romperla ni estirarla [3]. Sabemos que una esfera tiene curvatura positiva y que un plano tiene curvatura cero, por lo que es imposible transformar una esfera en un plano‚Ķ A¬†menos que estemos dispuestos a romperla o estirarla.¬†Esto nos entrega la respuesta negativa al problema de envolver una pelota, aplastar la c√°scara de una naranja o dise√Īar un mapa perfecto.
Se pueden obtener m√°s conclusiones interesantes de este teorema. Por ejemplo, un cilindro tiene curvatura constante igual a cero, pues se puede obtener doblando un rect√°ngulo plano.
Piense usted en la curvatura del cilindro cuando se encuentre con el rollo de papel higiénico vacío en la casa de sus suegros.

Soy el mapa, soy el mapa

¬ęA ver, a ver, momentito, momentito. Ya est√°n mintiendo de nuevo: ¬Ņc√≥mo dicen que los mapas no existen, si tengo uno ac√° en mi pieza?¬Ľ Buena pregunta. La discusi√≥n anterior uestra que no es posible transformar perfectamente una esfera en un plano, pero s√≠ es posible hacerlo si estamos dispuestos a perder algo. Estas transformaciones se llaman proyecciones.
¬ŅPerder qu√©, exactamente? Bueno, depende. Si queremos un mapa perfecto, alguien podr√≠a decir que se tienen que mantener las distancias entre todo par de puntos (importante para hacer viajes), los √°ngulos entre cada tres puntos (importante para la navegaci√≥n en el mar) o las √°reas de cada pa√≠s (importante para no herir susceptibilidades patri√≥ticas de pa√≠ses en v√≠as de desarrollo). Sin embargo, el theorema egregium de Gauss echa por tierra estos requerimientos: ¬°no se pueden tener todos a la vez! Hay que conformarse con tener algunas caracter√≠sticas y desechar las otras.

Proyección de Mercator

La proyecci√≥n de Mercator es la m√°s usada actualmente. Lleva su nombre debido al cart√≥grafo flamenco Gerardus Mercator (de la regi√≥n de Flandes de la actual B√©lgica:¬†no, no es ning√ļn animal), quien la desarroll√≥¬†en 1569. Su objetivo era claro: la navegaci√≥n.
La principal característica de la proyección de Mercator es que las loxodrómicas de la Tierra pasan a ser líneas rectas en el mapa.
¬ŅLoxoqu√©?
Las loxodr√≥micas (del griego para ¬ęcurso oblicuo¬Ľ) son las curvas que se producen al seguir una direcci√≥n fija de una br√ļjula. Se puede trazar una loxodr√≥mica entre dos puntos cualesquiera y √©sta siempre cortar√° a todos los meridianos con el mismo √°ngulo.
Ejemplo de una loxodrómica. Fuente: Wikipedia.
Por lo tanto, para seguir una l√≠nea recta en un mapa de Mercator basta seguir una direcci√≥n fija de la br√ļjula. ¬°He ah√≠ por qu√© result√≥ tan √ļtil para la navegaci√≥n!
Esta proyecci√≥n preserva los √°ngulos, es decir, el √°ngulo entre dos l√≠neas en la tierra es el mismo en el mapa. Adem√°s, preserva m√°s o menos bien las √°reas de las regiones peque√Īas, pero las regiones grandes se ven muy distorsionadas.
Mapa de Mercator de la Tierra. Notar que la Ant√°rtida parece ser gigantesca, mucho m√°s grande que √Āfrica. En realidad, ¬°√Āfrica es m√°s de dos veces m√°s grande que la Ant√°rtida! Fuente: Wikipedia.
Para peor, la distorsi√≥n se hace cada vez m√°s aberrante en la medida que nos alejamos del Ecuador y nos acercamos a los polos. Esto hace que, por ejemplo, Groenlandia se vea del mismo tama√Īo de √Āfrica, cuando en realidad tiene un √°rea‚Ķ ¬°Catorce veces m√°s chica!
Si le interesa ver cu√°nto es capaz de deformar el mapa de Mercator, en la p√°gina The True Size¬†podemos comparar, moviendo en el mapa, los tama√Īos ¬ęverdaderos¬Ľ de un pa√≠s frente a otro.
Esta deformidad no ha evitado la popularidad del mapa. La mayoría de los servicios en línea de mapas, incluyendo Google Maps, usan una variación de la proyección de Mercator (llamada Web Mercator), adaptada levemente para permitir el zoom hasta el nivel de ciudad.

Otros mapas

¬ŅY qu√© cosa existe aparte de Mercator? Hay m√°s proyecciones que pok√©mones. Vamos a hacer una revisi√≥n r√°pida por muchos tipos de proyecciones para ver la variedad y deformidad que pueden llegar a tener.
Otra proyección que preserva el ángulo, igual que la Mercator, es la proyección estereográfica. Esta proyección se hace a partir un punto (típicamente, uno de los polos). Tiene la propiedad de que preserva ángulos, los paralelos (como la línea del Ecuador) quedan como círculos concéntricos y los meridianos (que van de norte a sur) quedan como líneas rectas. Al final de todo, queda algo parecido al logo de la ONU. Por motivos técnicos, sólo son buenos para visualizar un hemisferio de la tierra a la vez.
Proyección estereográfica de la Tierra. Una gran ventaja de esta proyección es que el mapa no muestra la ciudad de T A L C A. Fuente: Wikipedia.
Una proyecci√≥n que preserva el √°rea en lugar del √°ngulo es la proyecci√≥n de Goode. Adem√°s esta proyecci√≥n trata de no deformar mucho la forma de los continentes con respecto a la de Mercator. El precio a pagar es que el mundo ya no se extiende de manera rectangular sino que tiene muchos ¬ęcortes¬Ľ.
Proyección de Goode, para los que no se quieren hacer problemas. Fuente: Wikipedia.
Supongamos ahora que no nos interesa preservar ángulo ni área, sino que distancia. Es imposible hacer un mapa que preserve la distancia entre todo par de puntos, pero se pueden hacer alguna clase de concesiones: a) preservar la distancia desde un punto fijo a todo el resto; b) preservar la distancia desde dos puntos fijos a todo el resto; o c) preservar la distancia entre meridianas.
Una proyecci√≥n que destaca por su simpleza es la proyecci√≥n plate carr√©e (franc√©s para cuadrada plana¬Ľ), que es de especial importancia en computaci√≥n, pues corresponde de manera directa los pixeles en ambas direcciones con las latitudes y longitudes.
Fuente: Wikipedia.
Fuente: Wikipedia.
La rarísima proyección retroazimutal de Hammer preserva las distancias proporcionales y las direcciones hacia un punto dado, pero a costa de deformar enormemente la forma del mapa. De hecho la proyección se traslapa sobre sí misma, por lo que es necesario separar el mundo en dos mitades para verlo en un plano, que se ve más o menos así:
Estaban fuertes los cogollos, hermano. Fuente: Wikipedia.
Y la proyección de Werner preserva la distancia hacia un punto (en este caso, el Polo Norte) a costas de deformar fuertemente las formas de todo el mapamundi. Pero debemos decir que el planeta adquiere una forma muy romántica. <3
El amor hace al mundo girar. Fuente: Wikipedia.
Una de las soluciones m√°s elegantes es la proyecci√≥n Winkel tripel. Es lo que sali√≥ cuando pensaron: ¬ęOK, no podemos preservar √°rea, distancia y √°ngulo a la vez. Busquemos algo que no preserve nada, pero que haga que el mapa se vea lo mejor posible¬Ľ. As√≠, la proyecci√≥n de Winkel busca minimizar la tres distorsiones m√°s importantes (√°rea, direcci√≥n y distancia) encontrando un equilibrio¬†entre las tres. Es la preferida, por ejemplo, por la asociaci√≥n de la National Geographic.
Fuente: Wikipedia.

Ya, ¬Ņy cu√°l mapa es el m√°s bueno, entonces?

Aqu√≠ le debemos prestar ropa al vilipendiado Mercator. Su mapa no es maligno ni malvado. No representa fielmente el mundo, pero a) nunca fue √©se su objetivo ‚ÄĒel cual era ser √ļtil en la navegaci√≥n y eso lo logra de manera excelente‚ÄĒ, y b) es imposible que cualquier mapa pueda representar el mundo de manera fiel.
Esto no ha evitado que algunas personas con af√°n mercantilista hayan promocionado su propia versi√≥n del mapa diciendo que es la mejor ¬ępara ense√Īar¬Ľ. Peters, un hombre con mucha habilidad de convencimiento, propuso y promovi√≥ su versi√≥n del mapa anteriormente propuesta por Gall. La proyecci√≥n de Gall-Peters ha sido promovida con un fin pol√≠tico: a diferencia de los mapas m√°s conocidos, este no ¬ęfavorecer√≠a¬Ľ a ning√ļn pa√≠s cercano al Polo Norte agrandando su tama√Īo, por lo que ser√≠a m√°s ¬ęigualitario¬Ľ, escapando del eurocentrismo (no del Eurocentro).
Fuente: Wikipedia.
Las cr√≠ticas al mapa de Gall-Peters son muchas y de diferente estilo. A pesar de mantener el √°rea proporcional en cada pa√≠s, estira los pa√≠ses ubicados cerca del Ecuador‚Ķ dejando Europa y Norteam√©rica con sus proporciones casi intactas. Para ser un mapa en contra de la ¬ędesigualdad¬Ľ, es muy eurocentrista.¬†Esto no ha evitado que sea promovido por instituciones por la UNESCO o diversas ONG que claman haber encontrado la proyecci√≥n m√°s justa e igualitaria del planeta, que, como vimos, es imposible que exista.
Pero en fin. Cada mapa preserva algunas características y, forzosamente, debe perder otras. Cada uso diferente tiene un mapa que le calza mejor. Nos quedamos entonces con la conclusión más demócratacristiana posible: el mejor mapa es el que sea mejor en ese caso. La matemática lo quiso así.
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NB: Si usted es f√≠sico o matem√°tico y encontr√≥ una grave ambig√ľedad en el art√≠culo, lo invitamos a leer el siguiente p√°rrafo.Cuando hablamos de ¬ęcurvatura¬Ľ nos referimos a la curvatura gaussiana o a la curvatura seccional (que, como usted bien sabr√° de sus cursos de geometr√≠a riemanniana, coinciden en dimensi√≥n dos). No consideramos necesario especificarlo, pues significar√≠a introducir nomenclatura adicional que no aporta nada a la discusi√≥n.

Referencias

[1] Killing, W. (1891). ¬ęUeber die Clifford-Klein‚Äôschen Raumformen¬Ľ.¬†Mathematische Annalen, Springer Berlin / Heidelberg. Disponible ac√°.
[2] Hopf, H. (1926). ¬ęZum Clifford-Kleinschen Raumproblem¬Ľ.¬†Mathematische Annalen, Springer Berlin / Heidelberg. Disponible ac√°.
[3] Gauss, C. F.¬†(1828). ¬ęDisquisitiones generales circa superficies curvas¬Ľ. Typis Dieterichianis. Disponible ac√°.